Question

設(shè)函數(shù)（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）當(dāng)x=6時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅱ）對任意的實(shí)數(shù)x，證明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜＜（a+1）n恒成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)，找到展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，即第四項(xiàng)；
（2）利用基本不等式適當(dāng)放縮進(jìn)行證明或函數(shù)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化與證明；
（3）探究性問題處理不等式問題，要注意對展開式系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)放縮從而達(dá)到證明的目的．
解答：解：（Ⅰ）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是
（Ⅱ）證法一：因=
證法二：因=
而
故只需對和進(jìn)行比較．
令g（x）=x-lnx（x≥1），有
由，得x=1
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x＜+∞時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以在x=1處g（x）有極小值1
故當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=1，
從而有x-lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx
故有恒成立．
所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．
（Ⅲ）對m∈N，且m＞1
有
=
=
＜

=
＜3；
又因＞0（k=2，3，…，m），故
∵，從而有成立，
即存在a=2，使得恒成立．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法．考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識．