Question

（2006•上海模擬）設(shè)A，B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z=（ctgB-tanA）+（tanB-tanA）i對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面的（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

Answer 1

分析：先求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再對(duì)實(shí)部和虛部分別“切化弦”，進(jìn)行通分后利用兩角和（差）余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，再判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．

解答：解：復(fù)數(shù)z=（cotB-tanA）+（tanB-cotA）i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（cotB-tanA，tanB-cotA）
∵cotB-tanA=

cosB

sinB

-

sinA

cosA

=

cosBcosA-sinAsinB

sinBcosA

=

cos(A+B)

sinBcosA

∵A，B是銳角，∴sinB＞0，cosA＞0，cos（A+B）＜0，則cotB-tanA＜0
∵tanB-cotA
=

sinB

cosB

-

cosA

sinA

=

sinBsinA-cosAcosB

sinAcosB

=-

cos(A+B)

sinAcosB

∵A，B是銳角，∴sinA＞0，cosB＞0，cos（A+B）＜0，則tanB-cotA＞0
所以復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，以及兩角和（差）的余弦公式應(yīng)用，三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)．