Question

已知點P（0，一2），橢圓c：（a＞b＞0），橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂，若三角形PF₁F₂的面積為2，且a²，b²的等比中項為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上有A、B兩點，使△PAB的重心為F₁，求直線AB的方程；
（3）在（2）的條件下，設M為橢圓上一動點，求△MAB的面積的最大值及此時點M的坐標．

Answer 1

解：（1）由三角形PF₁F₂的面積為2，及點P（0，一2），可得a²-b²=1（a＞b＞0），
∵a²，b²的等比中項為6，
∴a²b²=72，∴a²=9，b²=8，∴；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由橢圓上有A、B兩點，使△PAB的重心為F₁，可得，
又，，兩式相減得，
AB的中點為（-，1），所以AB的方程為4x-3y+9=0．
（3）由（2）知，的最大值為，此時點M的坐標為．
分析：（1）由三角形PF₁F₂的面積為2，及點P（0，一2）可得a，b的關系式，再利用a²，b²的等比中項為6，故可求a，b；
（2）充分利用條件橢圓上有A、B兩點，使△PAB的重心為F₁可求；
（3）由于AB線段的長度為定值，所以要使△MAB的面積的最大值，只需點線距離最大即可．
點評：本題考查了橢圓標準方程的求解，利用了待定系數法，求解直線方程則利用了設而不求法，要注意細細體會．