Question

已知函數(shù)f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R）且g（-

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2

）-g（1）=f（0）
（1）試求b，c所滿足的關系式；
（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意將自變量函數(shù)的解析式和所給的式子，化簡求出b，c所滿足的關系式即可；
（2）由b=0代入（1）得到的式子可得c=-1，再把方程f（x）=g（x）化簡并分離出a，令x^-1=t，將原條件轉(zhuǎn)化為a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解，構造h（t）=3t-t³（t＞0），求出導數(shù)和臨界點，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出得到函數(shù)的極大值，可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由g(-

1

2

)-g(1)=f(0)得，（2b+4c）-（b+c）=-3，
∴b，c所滿足的關系式為b-c-1=0．
（2）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1，
因為方程f（x）=g（x），即ax-3=-x^-2，
可化為a=3x^-1-x^-3，令x^-1=t，
由題意可得，a=3t-t³在（0，+∞）上有唯一解．
令h（t）=3t-t³（t＞0），由h′（t）=3-3t²=0，可得t=1，
當0＜t＜1時，由h′（t）＞0，可知h（t）是增函數(shù)；
當t＞1時，由h′（t）＜0，可知h（t）是減函數(shù)，
故當t=1時，h（t）取極大值2；
故當a=2或a≤0時，方程f（x）=g（x）有且僅有一個正實數(shù)解．
則所求a的取值范圍為{a|a=2或a≤0}．

點評：本題考查了函數(shù)與方程的綜合應用，利用換元法轉(zhuǎn)化成二次方程進行求解，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的應用，熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價轉(zhuǎn)化等是解題的關鍵．