Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+2x）-2x+ax²，
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且都小于1，求a的取值范圍；
（3）若對(duì)f（x）定義域內(nèi)的任意x，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且都小于1，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求a的取值范圍；
（3）令t=2x，則原不等式等價(jià)于，分類討論，分離參數(shù)，可得結(jié)論．
解答：解：（1）若a=1時(shí)，f（x）=ln（1+2x）-2x+x²，∴（）．
當(dāng)∪，f′（x）＞0，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和；
當(dāng)，f′（x）＜0，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）（）．
由函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，可知a≠2
∵兩個(gè)極值點(diǎn)都小于1，結(jié)合函數(shù)的定義域有，解得
綜上，且a≠2；
（3）令t=2x，則原不等式等價(jià)于
t=0，滿足題設(shè)；
t≠0，有
∵ln（1+t）-t＜0恒成立
∴
∴0
∴a≤0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．