Question

4．已知數列{a_n}中，a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，記f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），試計算f（1），f（2），f（3）的值，推測f（n）的表達式為f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 根據f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），依次求得f（1），f（2），f（3）的值，將結果轉化為同一的結構形式，進而推廣到一般得出f（n）的值．

解答 解：∵f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴f（1）=$\frac{3}{4}$，f（2）=$\frac{3}{4}•\frac{8}{9}$=$\frac{4}{6}$，f（3）=$\frac{2}{3}•\frac{15}{16}$=$\frac{5}{8}$，…，
根據其結構特點可得：f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$．
故答案為：$\frac{n+2}{2（n+1）}$．

點評 本題主要通過求值，來考查數列的規律性，同時還考查學生概括，抽象，推理，從具體到一般的能力．