Question

如圖，圖（1）是一個正方體的表面展開圖，MN和PQ是兩條面對角線．
（1）請在圖（2）的正方體中畫出MN、PQ；并求此時MN與PQ所成角的大小；
（2）求四面體MNPQ的體積與正方體的體積之比．（說明：求角與體積時，若需畫輔助圖，請分別畫在圖（3）、（4）中）

Answer 1

解：
（1）如圖所畫．在圖（3）中，連接NA，AM，則AN∥PQ，∠MNA（或其補角）為MN與PQ所成角，∵△MNA是正三角形，，∠MNA=60°，所以MN與PQ所成角的大小是60°．
（2）設正方體棱長為1，V_{四面體MNPQ}=V _N-MPQ=S_△PMQ×NP==，四面體MNPQ的體積與正方體的體積之比為1：6．
分析：（1）根據正方體的表面展開圖，畫出MN、PQ，如圖（2），在圖（3）中，連接NA，AM，則AN∥PQ，∠MNA（或其補角）為MN與PQ所成角．
（2）V_{四面體MNPQ}=V _N-MPQ，其體積易求出，再與正方體的體積作比即可．
點評：本題考查正方體的表面展開圖 與直觀圖，考查異面直線夾角、體積的計算．考查空間想象、計算、轉化能力．