Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）當時，判斷函數的零點個數；

（Ⅱ）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的零點個數為1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據題意，代入，對函數求導，判斷函數單調性，根據特殊值，即可判斷零點個數；

（Ⅱ）根據題意，解決函數恒成立問題，方法一：轉化對任意恒成立，則有對任意恒成立，構造函數，只需求，利用導數研究函數最值問題。方法二：對任意恒成立.構造函數，轉化成射線與函數的圖象相切時屬臨界狀態，計算求解；方法三：含參的函數最小值探究，只需，即可求解參數取值范圍.

（Ⅰ）當時，，其定義域為，

求導得，

于是當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，又，所以函數的零點個數為1；

（Ⅱ）法1：因對任意，恒成立，即對任意恒成立，于是對任意恒成立，

令，只需.

對函數求導，得，令，

則，所以函數在上單調遞增.

又，所以當時，，，函數單調遞減；當時，，，函數單調遞增，所以函數，于是，即實數的取值范圍為.

法2：因對任意，恒成立，即對任意恒成立.構造函數，對其求導，得，

令，得（舍去），所以當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.

函數的圖象是一條過原點的射線（不包括端點），旋轉射線（不含端點），發現與函數的圖象相切時屬臨界狀態.

設切點為，則，整理得，

顯然在上是增函數，又，所以，此時切線斜率為1，結合圖象，可知實數的取值范圍為.

法3：根據題意只需即可.

又，令，因2與異號，所以必有一正根，不妨設為，則，即，

當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以，

又在上是減函數，又，所以，

由得在上單調遞增，則實數的取值范圍為.