Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，把函數(shù)g（x）=f（x）-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，該數(shù)列的前n項的和S_n，則S₁₀=（　　）

A．45

B．55

C．2¹⁰-1

D．2⁹-1

Answer 1

分析：函數(shù)y=f（x）與y=x-1在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交點依次為（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即函數(shù)g（x）=f（x）-x+1的零點按從小到大的順序為0，1，2，3，4，…，n+1．方程g（x）=f（x）-x+1的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，…，可得數(shù)列通項公式．

解答：解：當x≤0時，g（x）=f（x）-x+1=x，故a₁=0
當0＜x≤1時，有-1＜x-1≤0，則f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-1+1=2x-2，g（x）=f（x）-x+1=x-1，故a₂=1
當1＜x≤2時，有0＜x-1≤1，則f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-2+1=2x-3，g（x）=f（x）-x+1=x-2，故a₃=2
當2＜x≤3時，有1＜x-1≤2，則f（x）=f（x-1）+1=2（x-1）-3+1=2x-4，g（x）=f（x）-x+1=x-3，故a₄=3
…
以此類推，當n＜x≤n+1（其中n∈N）時，則f（x）=n+1，
故數(shù)列的前n項構(gòu)成一個以0為首項，以1為公差的等差數(shù)列
故S₁₀=

10(10-1)

2

=45
故選A

點評：本題考查了數(shù)列遞推公式的靈活運用，解題時要注意分類討論思想和歸納總結(jié)；本題屬于較難的題目，要細心解答．