Question

(本題滿分14分)如圖，在棱長為的正方體中，

為線段上的點，且滿足.

  （Ⅰ）當時，求證：平面平面；

（Ⅱ）試證無論為何值，三棱錐的體積恒為定值；

  （Ⅲ）求異面直線與所成的角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

方法一、證明：（Ⅰ）∵正方體中，面，

又∴平面平面，      ∵時，為的中點，∴， 又∵平面平面，∴平面，

又平面，∴平面平面．……………5分

（Ⅱ）∵， 為線段上的點，

∴三角形的面積為定值，即，

又∵平面∴點到平面的距離為定值，

即，    ∴三棱錐的體積為定值，

即．

也即無論為何值，三棱錐的體積恒為定值；         ……………10分

（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，又平面，∴，               即異面直線與所成的角為定值，從而其余弦值為．      ……………14分

方法二、如圖，以點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系．

（Ⅰ）當時，即點為線段的中點，則，又、

∴，，設平面的法向量為……1分

則，即，令，

解得，……2分

又∵點為線段的中點，∴，

∴平面，

∴平面的法向量為，                        ………3分

∵，

∴平面平面，                           ………………………6分

（Ⅱ）略；                                            ………………………10分

（Ⅲ）∵，∴，       ………………………11分

又、、，∴，…12分

∵                          ……………………13分

∴不管取值多少，都有，

即異面直線與所成的角的余弦值為0.                      ……………14分

 

【解析】略