Question

已知：四邊形ABCD為圓內(nèi)接矩形，過點(diǎn)D作圓的切線DP，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且PD=15，PA=9．求AD與AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：由四邊形是圓內(nèi)接矩形可知，∠PAD=90°．根據(jù)勾股定理便可求出AD的長(zhǎng)，因?yàn)镻D是⊙O的切線，所以根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是90°構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)即可求出AD與AB的長(zhǎng)；
解答：解：連接BD．（如圖1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥PB．
∴∠PAD=∠BAD=90°．△PAD與△ABD都是直角三角形．
∵PD=15，PA=9，
∴AD=12．
∵DP切⊙O于D，
∴BD⊥DP．
∴∠PDB=90°．
∵∠P+∠ADP=∠ADP+∠ADB=90°，
∴∠P=∠ADB．
∵tan∠P===，
∴tan∠ADB==．
∴AB=AD•tan∠ADB==16．
點(diǎn)評(píng)：此題不僅考查了求圓的弦長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)，還考查了圓的切線的性質(zhì)定理的證明．