Question

校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規定成績在85分以上的學生為“優秀”，成績小于85分的學生為“良好”，且只有成績為“優秀”的學生才能獲得面試資格．
（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數與平均數；
（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優秀”和“良好”的學生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優秀”的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）根據頻率分步直方圖的性質，根據所給的頻率分步直方圖中小矩形的長和寬，求出矩形的面積，即這組數據的頻率，根據各小組的頻率之和為1求出第四組的頻率，進一步補全頻率分布直方圖；
（2）第一、二兩組的頻率和為0.4，第三組的頻率為0.3，所以中位數落在第三組，由此能求出筆試成績的中位數，利用組中值乘以改組的頻率可得平均數；
（3）根據概率公式計算，事件“5位同學中抽兩位同學”有10種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“優秀””可能種數是9，那么即可求得事件M的概率．

解答：解：（1）其它組的頻率為
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第4組的頻率為0.2，
頻率分布圖如圖：

（2）設樣本的中位數為x，則5×0.01+5×0.07+（x-85）×0.06=0.5，
解得x=

260

3

，
∴樣本中位數的估計值為

260

3

，平均數為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10=87.25；
（3）依題意良好的人數為40×0.4=16人，優秀的人數為40×0.6=24人
優秀與良好的人數比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優秀3人，良好2人，
記“從這5人中選2人至少有1人是優秀”為事件M，
將考試成績優秀的三名學生記為A，B，C，考試成績良好的兩名學生記為a，b，
從這5人中任選2人的所有基本事件包括：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個基本事件，
事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個，
所以P（M）=

9

10

=0.9．

點評：本題考查頻率分步直方圖的性質，以及平均數和中位數的計算，考查等可能事件的概率，本題是一個概率與統計的綜合題目．屬于中檔題．