Question

已知函數。

（I）求f（x）的單調區間；

（II）若對任意x∈［1，e］，使得g（x）≥－x²＋（a＋2）x恒成立，求實數a的取值范圍；

（III）設F（x）＝，曲線y＝F（x）上是否總存在兩點P，Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為鈍角柄點的鈍角三角開，且最長邊的中點在y軸上？請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵

∴當、時，在區間、上單調遞減．

當時，在區間上單調遞增．          ………3分

（Ⅱ）由，得．

∵，且等號不能同時取得，∴，

∵對任意，使得恒成立，

∴對恒成立，即．（）

令，求導得，，      ………5分

∵，

∴在上為增函數，，．            ………7分

（Ⅲ）由條件，，

假設曲線上總存在兩點滿足：是以為鈍角頂點的鈍角三角形，且最長邊的中點在軸上，則只能在軸兩側．

不妨設，則．

∴，  …（※），

是否存在兩點滿足條件就等價于不等式（※）在時是否有解．………9分

①     若時，，化簡得，對此不等式恒成立，故總存在符合要求的兩點P、Q；                    ………11分

②     若時，（※）不等式化為，若,此不等式顯然對恒成立，故總存在符合要求的兩點P、Q；

若a>0時，有…（▲），

設，則，

顯然， 當時，，即在上為增函數，

的值域為，即，

當時，不等式（▲）總有解．故對總存在符合要求的兩點P、Q．

………13分

綜上所述，曲線上總存在兩點，使得是以為鈍角頂點的鈍角三角形，且最長邊的中點在軸上．                                ……14分