Question

已知空間四邊形ABCD.

(1)求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線;

(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;

(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.

Answer 1

證明：(1)（反證法）假設(shè)AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面，

所以A、B、C、D四點(diǎn)共面

這與空間四邊形ABCD的定義矛盾

所以對(duì)角線AC與BD是異面直線

 (2)解：∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=AC.

同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.

又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90^o.∴EFGH是矩形.

(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.