Question

已知函數f(x)的定義域是（0，+∞），當x>1時，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)+f(y)，

(1)求f(1)的值；

(2)證明f(x)在定義域上是增函數；

(3)如果f( 3 )=1，求滿足不等式f(x)－f()≥2的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0. ………………………………2分

(2)令y= ,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=－f(x). ………………………………4分

任取x₁,x₂∈（0，+∞）,且x₁<x₂,則f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f()=f().…………………6分

由于>1，故f()>0，從而f(x₁)>f(x₂).  ∴f(x)在（0，+∞）上是增函數. …………8分

(3)由于f(3)=1，在f(x·y)＝f(x)+f(y)中，令x=y=3，得f(9)=f(3)+f(3)=2。……10分

又－f()=f(x－2)，故所給不等式可化為f(x)+f(x－2) ≥f(9)，即 f [x(x－2)] ≥f(9)，

解得.∴x的取值范圍是.…………………14分