Question

如圖，在正方形ABCD中，M是邊BC的中點，N是邊CD上一點，且CN=3DN，設∠MAN=α，那么sinα的值等于

 

．

Answer 1

分析：由題意可得 tan∠MAB=

1

2

，tan∠DAN=

1

4

，利用兩角和的正切公式可得tan∠（ MAB+∠DAN ）的值，再利用誘導公式可得cot α 的值，由 1+cot²α=csc²α=

1

sin2α

，求得 sinα 的值．

解答：解：設正方形的邊長為1，由題意可得 tan∠MAB=

1

2

，tan∠DAN=

1

4

，
tan∠（ MAB+∠DAN ）=

1 2 + 1 4

1- 1 2 • 1 4

=

6

7

，∴cot α=tan∠（ MAB+∠DAN ）=

6

7

，
∴1+cot²α=

85

49

=csc²α=

1

sin2α

，∴sinα=

49 85

=

7 85

85

，
故答案為

7 85

85

．

點評：本題考查兩角和的正切公式，同角三角函數的基本關系，誘導公式的應用，求出cotα=

6

7

，是解題的關鍵．