Question

已知A、B是雙曲線x²-=1上的兩點,O是坐標原點,且滿足·=0, =α+(1-α) .

(1)當α=,且=(2,)時,求P點的坐標;

(2)當·=0時,求||的值;

(3)求|AB|的最小值.

Answer 1

解：(1)設=(x,y),則由·=0及點B在雙曲線上,得

解得或

∴=(-,1)或=(,-1).

∴=+=(,)或

=+=(,),

即P點的坐標是(,)或(,).

(2)設直線OA的方程為y=kx,則由

得x²=,y²=.

∴|OA|²=x²+y²=.

同理,可得|OB|²=.

由|OP|·|AB|=|OA|·|OB|,得==+=.

∴|OP|=.

(3)方法一:由|OP|·|AB|=|OA|·|OB|,==,

(|OA|²+|OB|²)()≥4,

∴|AB|²≥8.故|AB|≥2,當且僅當|OA|=|OB|=2時,等號成立.

故|AB|的最小值為2.

方法二:由(2)知|AB|²=3〔|AB|²=3(x₁²+x₂²)-4,3x₁²x₂²=4(x₁²+x₂²)-4〕.

設a=x₁²,b=x₂²,則a＞0,b＞0,ab≤()²,

4(a+b)-4≤3()²,a+b≥4或a+b≤.

當a+b≤時,|AB|²≤0(不合,舍去);

當a+b≥4時,|AB|²=3(a+b)-4≥8,|AB|≥2,當且僅當a=b=2,即x₁=x₂=±時取等號.

故|AB|的最小值為2.