Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面所成的角為60°，AB=BC，A₁A=A₁C=2，AB⊥BC，側面AA₁C₁C⊥底面ABC．
（1）證明：A₁B⊥A₁C₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的大小；
（3）求經過A₁、A、B、C四點的球的表面積．

Answer 1

解：取AC中點為O，由A₁A=A₁C，AB=BC，知A₁O⊥AC，BO⊥AC，
又平面AA₁C₁C⊥平面ABC，所以A₁O⊥OB．
建立如圖所示的坐標系O-xyz，則A（0，-1，0），B（1，0，0），
A₁（0，0，），C（0，1，0）．
（1）∵=（1，0，-），==（0，2，0）
∴•=0
∴A₁B⊥A₁C₁．
（2）設=（x，y，z）為面BCC₁的一個法向量．
∵=（-1，1，0），==（0，1，）
又•=•=0，
∴取n=（，，-1）．
又=（1，0，0）是面ACC₁的法向量，
∴cos＜，＞===．
由點B在平面ACC₁內的射影O在二面角的面ACC₁內，知二面角A-CC₁-B為銳角，
∴二面角A-CC₁-B的大小為arccos．
（3）設球心為O₁，因為O是△ABC的外心，A₁O⊥平面ABC，
所以點O₁在A₁O上，則O₁是正三角形A₁AC的中心．
則球半徑R=A₁A=，球表面積S=4πR²=π．
分析：此題可利用空間向量做：由于A₁O⊥AC，BO⊥AC，A₁A=A₁C=2故取AC中點為O則A₁O⊥AC，BO⊥AC而側面AA₁C₁C⊥底面ABC且故可利用面面垂直的性質定理可得A₁O⊥OB所以可以OB，OC，OA₁所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
（1）要證明A₁B⊥A₁C₁即證明⊥即說明•=0即可故需求出，的坐標然后利用平面向量數量積的坐標計算求出•即可．
（2）分別求出面BCC₁，面ACC₁的法向量m，n然后利用向量的夾角公式cos＜，＞=求出＜，＞而點B在平面ACC₁內的射影O在二面角的面ACC₁內故二面角A-CC₁-B為銳角所以二面角A-CC₁-B的大小為＜，＞（cos＜，＞＞0）或π-＜，＞（cos＜，＞＜0）．
（3）由于A₁A=A₁C，AB⊥BC，O為AC的中點故A，B，C三點所在的平面截經過A₁、A、B、C四點的球所得的截面為球的小圓而A₁O⊥平面ABC故經過A₁、A、B、C四點的球的球心在A₁O上而三角形A₁AC為正三角形故根據對稱性可知球心在正三角形A₁AC的中心然后利用正三角形的性質求出球的半徑再結合球的表面經公式即可得解．
點評：本題主要考察了利用空間向量證明線線垂直、求二面角以及求球的表面積，屬常考題，較難．解題的關鍵是正確建立空間直角坐標系然后將線線垂直、二面角問題轉化為證明向量垂直，法向量的夾角問題，同時還要求計算一定要準確！