Question

已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若恒成立，證明：當時，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，在上遞增；當時，單調遞增；當時，單調遞減；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調區間、最值等數學知識和方法，突出考查分類討論思想和綜合分析問題和解決問題的能力.第一問是利用導數研究函數的單調性，但是題中有參數，需對參數進行討論，可以轉化為含參一元一次不等式的解法；第二問先是恒成立問題，通過第一問的單調性對進行討論，通過求函數的最大值求出符合題意的，表達式確定后，再利用函數的單調性的定義，作差，放縮法證明不等式.

試題解析：（Ⅰ）．

若，，在上遞增；

若，當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．                                      5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若，在上遞增，

又，故不恒成立．

若，當時，遞減，，不合題意．

若，當時，遞增，，不合題意．

若，在上遞增，在上遞減，

符合題意，

故，且（當且僅當時取“”）．                    8分

當時，

，

所以．                                           12分

考點：1.利用導數求函數的單調性；2.恒成立問題；3.分類討論思想和放縮法的應用.