Question

已知函數 .

（Ⅰ）若，試確定函數的單調區間；

（Ⅱ）若且對任意恒成立，試確定實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在單調遞增；在單調遞減  4分

（Ⅱ）.

（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ），令，解得

當時，，在單調遞增；

當時，，在單調遞減  4分

（Ⅱ）為偶函數，恒成立等價于對恒成立

解法1:當時，，令，解得

（1）當，即時，在減，在增

，解得，

（2）當，即時，，在上單調遞增，

，符合，

綜上，.                  9分 

解法2: 等價于對恒成立,

設則. 當時, ;當時, ;

時,  

 

（Ⅲ）

.   14分

考點：應用導數研究函數的單調性，證明不等式恒。

點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，在某區間，導數值非負，函數為增函數，導數值非正，函數為減函數。不等式證明問題，往往通過構造函數，轉化成了研究函數的最值，使問題得解。本題涉及不等式恒成立問題，通過研究函數的最值，解決了問題。