Question

【題目】已知函數f（x）=ex（e=2.71828…），g（x）為其反函數．
（1）求函數F（x）=g（x）﹣ax的單調區間；
（2）設直線l與f（x），g（x）均相切，切點分別為（x1 ， f（x1）），（x2 ， f（x2）），且x1＞x2＞0，求證：x1＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex，g（x）為其反函數，故g（x）=lnx，（x＞0），

∴F（x）=g（x）﹣ax=lnx﹣ax，g′（x）= ，

①a≤0時，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）遞增，

②a＞0時，令F′（x）＞0，解得：x＜ ，令F′（x）＜0，解得：x＞ ，

故F（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減

（2）解：f′（x）=ex，g′（x）= ，

切點的坐標分別為（x1，ex1），（x2，lnx2），可得方程組：

，∵x1＞x2＞0，

∴ex1＞1，∴ =ex1＞1，

∴0＜x2＜1．

由②得lnx2﹣ex1=ex1（x2﹣x1），

∴lnx2=ex1（x2﹣x1+1）．

∵0＜x2＜1，∴lnx2＜0，

∴x2﹣x1+1＜0，即x1＞x2+1＞1．

∴x1＞1．

【解析】（1）求出F（x）的導數，通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）由于直線l與f（x）、g（x）均相切，利用導數的幾何意義和斜率計算公式可得方程組，再利用x1＞x2＞0，可得ex1＞1，得到0＜x2＜1．再利用②得lnx2=ex1（x2﹣x1+1）＜0，即可得到x2﹣x1+1＜0．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．