Question

已知函數f(x)=

lg|x|+mx

x

(x≠0)．
（1）實數m為何值時，f（x）為奇函數？并說明理由；
（2）若函數f（x）的圖象與x軸恰有三個不同的公共點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（-1）=-f（1）可得m=0，再利用奇函數的定義進行驗證即可；
（2）設g(x)=

lg|x|

x

，則當x＞0時，g(x)=

lgx

x

，求導函數，確定函數的單調性，從而確定函數的極值，再利用函數f（x）的圖象與x軸恰有三個不同的公共點，建立不等式，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（-1）=-f（1）可得m=0．     （2分）
所以當m=0時，因為f(x)=

lg|x|

x

，f（-x）=-f（x）．即f（x）為奇函數． （4分）
（2）設g(x)=

lg|x|

x

，則當x＞0時，g(x)=

lgx

x

，可得g′(x)=

lge-lgx

x2

（5分）
令g′（x）=0，可得x=e．                                   （6分）
令g′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e．
所以函數g（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減．         （8分）
由于g（x）為奇函數，所以g（x）函數在（-e，0）上遞增，在（-∞，-e）上遞減．
且x＞e時，g（x）＞0，x＜-e時，g（x）＜0（9分）
所以有：f極小值(x)=g(-e)+m=-

lge

e

+m，f極大值(x)=

lge

e

+m（10分）
當0＜x＜e時，f（x）＜g（e）+m，當x＞e時，m＜f（x）＜g（e）+m
所以當-e＜x＜0時，f（x）＞g（-e）+m
當x＜-e時，g（-e）+m＜f（x）＜m（11分）
若f（x）圖象與X軸恰有三個公共點，則0＜m＜

lge

e

或-

lge

e

＜m＜0（12分）

點評：本題重點考查函數的性質，考查函數的單調性，考查導數知識的運用，考查學生的分析解決問題的能力，需要一定的基本功．