Question

已知圓內一點過點的直線交圓于 兩點,且滿足 (為參數).

(1)若，求直線的方程；

(2)若求直線的方程；

(3)求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) 或 (2)  (3)

【解析】本試題主要是考查了直線與圓位置關系的運用。以及直線方程的求解和參數的求值問題。

（1）因為當直線的斜率不存在時， ，不滿足,故可設所求直線的方程為與圓的方程聯立，結合韋達定理得到結論。

（2）設直線方程與圓聯立，然后結合向量的關系式得到坐標關系，并結合韋達定理得到參數k的值,進而得到直線的方程。

（3）可設所求直線的方程為，

代入圓的方程，整理得，（*）

設，則為方程（*）的兩根，

由可得

則有，得， ----（12分）

而，由可解得

所以實數的取值范圍為可得。

解：（I）當直線的斜率不存在時， ，不滿足,故可設所求直線的方程為， ------------（1分）

代入圓的方程，整理得， --------------（2分）

利用弦長公式可求得直線方程為或.--------------（4分）

（II）當直線的斜率不存在時， 或，不滿足,故可設所求直線的方程為， ---------------（5分）

代入圓的方程，整理得，

設，則為方程（*）的兩根，

由可得---------（6分）

則有，得，解得---（8分）

所以直線的方程為-------------（9分）

（III）當直線的斜率不存在時，

或，或,---------（10分）

當直線的斜率存在時可設所求直線的方程為，

代入圓的方程，整理得，（*）

設，則為方程（*）的兩根，

由可得

則有，得， -----（12分）

而，由可解得

所以實數的取值范圍為-----------（14分）