Question

17．三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PA=1，PB+PC=4，當三棱錐的體積最大時，球心O到平面ABC的距離是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 當且僅當PB=PC=2時，三棱錐的體積最大，如圖所示，將P-ABC視為正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圓的半徑，即可求出球心O到平面ABC的距離．

解答 解：由題意，V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•PB•PC≤\frac{1}{3}（PB+PC）^{2}$=$\frac{16}{3}$，
當且僅當PB=PC=2時，三棱錐的體積最大，
如圖所示，將P-ABC視為正四棱柱的一部分，
則CD=2R，即PA²+PB²+PC²=4R²=9，可得R=$\frac{3}{2}$，
因為AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$，
所以cos∠ACB=$\frac{5+8-5}{2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，sin∠ACB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
△ABC外接圓的半徑為r=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
設球心到平面ABC的距離為d，
所以d=$\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{75}{36}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選B．

點評 本題考查球心O到平面ABC的距離，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．