Question

已知（x+

2

x

）ⁿ展開式中，第二項、第三項、第四項的二項式系數成等差數列，則在（x+

2

x

）ⁿ展開式中系數最大項是（　　）

A．第3項

B．第4項

C．第5項

D．第6項

Answer 1

分析：由題意可得 2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，解得 n=7．根據（x+

2

x

）ⁿ=(x+

2

x

)7的開式的通項公式可得第r+1項的系數為2^r•

C

r 7

．令

2r •C r 7 ≥2r+1 •C r+1 7 2r •C r 7 ≥2r-1 •C r-1 7

，可得整數r=5，從而得出結論．

解答：解：由題意可得 2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，解得 n=7．
在（x+

2

x

）ⁿ=(x+

2

x

)7的開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 7

•x^7-r•2^r•x-

r

2

=2^r•

C

r 7

•x7-

3r

2

，
故第r+1項的系數為2^r•

C

r 7

．
令

2r •C r 7 ≥2r+1 •C r+1 7 2r •C r 7 ≥2r-1 •C r-1 7

，可得整數r=5，
故所求的系數最大項為第六項，
故選D．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．