Question

已知函數的定義域為，對于任意的，都有，且當時，，若.

（1）求證：為奇函數；

（2）求證:是上的減函數；

（3）求函數在區間上的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：見解析；

（2）證明：見解析；（3）函數在區間上的值域為.

【解析】（1）賦值求出，即證出為奇函數；（2）利用函數單調性定義和奇函數證出是上的減函數；（3）由（2）得函數在區間上的最大值是；最小值是.

(1)證明：的定義域為,令,則， 令,則，即.

，故為奇函數.     4分

（2）證明：任取且,

則 

又，，，

即.

故是上的減函數.        8分

（3）解:

又為奇函數,

由(2)知是上的減函數,

所以當時，取得最大值，最大值為；

當時，取得最小值，最小值為. 11分

所以函數在區間上的值域為.      12分