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設函數(shù)f(x)=2sin(2x+?)+1(-π<?<0),y=f(x)的圖象的一條對稱軸是直線x=
π8
.

(1)求?;
(2)求函數(shù)y=f(x)的遞減區(qū)間;
(3)試說明y=f(x)的圖象可由y=2sin2x的圖象作怎樣變換得到.
分析:(1)根據(jù)正弦曲線知,正弦函數(shù)在對稱軸處的值是±1,再結(jié)合?的范圍求出?的值;
(2)根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的法則和正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出y=sin(2x-
4
)+1
的單調(diào)區(qū)間,即為原函數(shù)的遞減區(qū)間;
(3)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移過程,先進行左右平移“左加右減”,要保證x的系數(shù)為1,再進行振幅變換.
解答:解:(1)由題意知,函數(shù)圖象的一條對稱軸是x=
π
8
.

sin(2×
π
8
+?)=±1
,即sin(
π
4
+?)=±1

解得,?+
π
4
=kπ+
π
2
,k∈Z
,則?=kπ+
π
4
(k∈Z)

-π<kπ+
π
4
<0
,解得-
5
4
<k<-
1
4

∴k=-1,即?=-
4
(5分)
(2)∵f(x)=2sin(2x-
4
)+1
且y=2x是增函數(shù),
∴函數(shù)y=f(x)的遞減區(qū)間,即為y=sin(2x-
4
)+1
的遞減區(qū)間.
2kπ+
π
2
<2x-
4
<2kπ+
2
,k∈z
解得:kπ+
8
<x<kπ+
8

∴函數(shù)y=f(x)的遞減區(qū)間為[kπ+
8
,kπ+
8
](k∈Z)
(10分)
(3)∵f(x)=2sin(2x-
4
)+1
=2.2sin[2(x-
8
)]

∴將函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移
8
個單位,然后縱坐標擴大為2倍(橫坐標不變)
得到函數(shù)y=f(x)的圖象(14分)
點評:本題是一道綜合題,考查了指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象以及性質(zhì),利用復合函數(shù)的法則“同增異減”求單調(diào)區(qū)間,還有利用正弦函數(shù)的圖象變換得到所求函數(shù)的圖象.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分13分)已知函數(shù)f (x)=2n在[0,+上最小值是an∈N*).

(1)求數(shù)列{a}的通項公式;(2)已知數(shù)列{b}中,對任意n∈N*都有ba =1成立,設S為數(shù)列{b}的前n項和,證明:2S<1;(3)在點列A(2n,a)中是否存在兩點A,A(i,j∈N*),使直線AA的斜率為1?若存在,求出所有的數(shù)對(i,j);若不存在,請說明理由.

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