Question

設函數(shù)f（x）=2^{sin（2x+?）+1}（-π＜?＜0），y=f（x）的圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

.
（1）求?；
（2）求函數(shù)y=f（x）的遞減區(qū)間；
（3）試說明y=f（x）的圖象可由y=2^sin2x的圖象作怎樣變換得到．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦曲線知，正弦函數(shù)在對稱軸處的值是±1，再結(jié)合?的范圍求出?的值；
（2）根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的法則和正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出y=sin(2x-

3π

4

)+1的單調(diào)區(qū)間，即為原函數(shù)的遞減區(qū)間；
（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移過程，先進行左右平移“左加右減”，要保證x的系數(shù)為1，再進行振幅變換．

解答：解：（1）由題意知，函數(shù)圖象的一條對稱軸是x=

π

8

.，
∴sin(2×

π

8

+?)=±1，即sin(

π

4

+?)=±1
解得，?+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，則?=kπ+

π

4

(k∈Z)
∵-π＜kπ+

π

4

＜0，解得-

5

4

＜k＜-

1

4

，
∴k=-1，即?=-

3π

4

（5分）
（2）∵f(x)=2sin(2x-

3π

4

)+1且y=2^x是增函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）的遞減區(qū)間，即為y=sin(2x-

3π

4

)+1的遞減區(qū)間．
由2kπ+

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

3π

2

，k∈z解得：kπ+

5π

8

＜x＜kπ+

9π

8

．
∴函數(shù)y=f（x）的遞減區(qū)間為[kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

](k∈Z)（10分）
（3）∵f(x)=2sin(2x-

3π

4

)+1=2.2sin[2(x-

3π

8

)]
∴將函數(shù)y=2^sin2x的圖象向右平移

3π

8

個單位，然后縱坐標擴大為2倍（橫坐標不變）
得到函數(shù)y=f（x）的圖象（14分）

點評：本題是一道綜合題，考查了指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象以及性質(zhì)，利用復合函數(shù)的法則“同增異減”求單調(diào)區(qū)間，還有利用正弦函數(shù)的圖象變換得到所求函數(shù)的圖象．