Question

某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如圖所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說明怎樣運土最省工．

Answer 1

【答案】分析：首先抽象為數學問題，半圓中的點可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠．
顯然，第三類點是第一、二類的分界點，設M是分界線上的任意一點．則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|．于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50．從而發現第三類點M滿足性質：點M到點A與點B的距離之差等于常數50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉化為求此雙曲線的方程．
解答：解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系xOy，設M（x，y）是沿AP、BP運土同樣遠的點，則
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，
∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50．
在△PAB中，由余弦定理得
|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|．
由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，設此雙曲線方程為-=1（a＞0，b＞0）．
∵2a=50，4c²=17500，c²=a²+b²，
解之得a²=625，b²=3750．
∴M點軌跡是-=1（x≥25）在半圓內的一段雙曲線弧．
于是運土時將雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最省工．
點評：本題主要考查了雙曲線的應用．解題的關鍵是通過建立數學模型把實際問題轉化為數學問題，利用解析幾何的知識來解決．