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設數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2
(1)設bn=an+1-2an,證明數列{bn}是等比數列;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)令cn=nbn,求數列{cn}的前n項和Tn
分析:(1)根據Sn+1=4an+2可得當n≥2時Sn=4an-1+2,將兩式作差可得bn與bn-1的關系根據等比數列的定義可證得數列{bn}是等比數列,從而求出{bn}的通項公式;
(2)由(1)可得an+1=2an+3•2n-1,兩邊同除以2n+1,可得{
an
2n
}是以
1
2
為首項,以
3
4
為公差的等差數列,從而求出數列{an}的通項公式;
(3)先求出{cn}通項公式,根據通項公式的特點可考慮利用錯位相減求解數列的和即可.
解答:解:(1)當n=1時,a1+a2=4a1+2,∴a2=5----------------(1分)
∵Sn+1=4an+2
∴當n≥2時Sn=4an-1+2,將兩式作差可得an+1=4an-4an-1,
而bn=an+1-2an,則bn=2bn-1------------------(3分)
∴{bn}是以首項為3,公比為2的等比數列即bn=3•2n-1-------------------------(4分)
(2)an+1=2an+3•2n-1,兩邊同除以2n+1,得
an+1
2n+1
-
an
2n
=
3
4

∴{
an
2n
}是以
1
2
為首項,以
3
4
為公差的等差數列------------------------------(6分)
an=(3n-1)2n-2-----------------------------------(8分)
(3)∵bn=3•2n-1,∴cn=nbn=3n•2n-1,
Tn=3×2+6×22+…+3n•2n-1,
2Tn=3×22+6×23+…+3n•2n
將兩式作差可得Tn=3•2n(n-1)+3---------------(12分)(最后一問中間過程不給分,只看結果)
點評:本題主要考查了利用基本量表示的等差數列、等比數列的通項,錯位相減求解數列的和,屬于數列的知識的綜合應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=an(2n-1),求數列{bn}的前n項的和.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列an的前n項的和為Sna1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3
(2)求數列an的通項公式;
(3)設bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

設數列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關系式;
(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數學 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區域為Dn,若Dn內的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數的點)個數為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關系(只需給出結果,不需要過程),
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)設數列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設數列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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同步練習冊答案
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