Question

已知函數f（x）=log 

1

2

（ax²+3x+a+1）
（1）當a=-1時，求函數f（x）的單調區間及最值；
（2）對于x∈[1，2]，不等式（

1

2

）^f（x）-3x≥2恒成立，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求得函數的定義域為（0，3），令t=-x²+3x，則f（x）=log 

1

2

t，且0＜x＜3．由二次函數的性質可得函數t的單調性，再根據復合函數的單調性規律可得函數f（x）的單調性．利用二次函數的性質求得函數t的最大值，可得函數f（x）的最小值．
（2）由題意可得對于x∈[1，2]，即 ax²+a-1≥0恒成立，即a≥

1

x2+1

恒成立．利用單調性求得函數t=

1

x2+1

在[1，2]上取得最大值，可得正實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-1時，函數f（x）=log 

1

2

（-x²+3x）的定義域為（0，3），
令t=-x²+3x，則f（x）=log 

1

2

t，且-0＜x＜3．
由二次函數的性質可得，函數t在（0，

3

2

]上是增函數，在[

3

2

，3）上是減函數．
再根據復合函數的單調性規律可得函數f（x）的單調增區間為[

3

2

，3），減區間為（0，

3

2

]．
由于當x=

3

2

時，函數t取得最大值為

9

4

，故函數f（x）的最小值為log

1

2

9

4

=2log

1

2

3

2

．
（2）對于x∈[1，2]，不等式（

1

2

）^f（x）-3x≥2恒成立，
即 ax²+a-1≥0恒成立，即a≥

1

x2+1

恒成立．
由于函數t=

1

x2+1

在[1，2]上是減函數，故當x=1時，函數t=

1

x2+1

在[1，2]上取得最大值為

1

2

，
故a≥

1

2

，即正實數a的取值范圍為[

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查復合函數的單調性規律，利用函數的單調性求函數的最值，函數的恒成立問題，屬于中檔題．