Question

已知數(shù)列滿足，，()
（1）若，數(shù)列單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，試寫出對任意成立的充要條件，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）∪；（2）充要條件為.

試題分析：本題主要考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的單調(diào)性、充要條件、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力、邏輯推理能力.第一問，數(shù)列單調(diào)遞增，將已知條件代入，得到所滿足條件，即需要滿足的條件，即得到a的取值范圍，第二問，必要性：法一：由直接解出，法二：利用已知的遞推公式得到與的關(guān)系，再利用配方法得到的最小值，充分性：用數(shù)學(xué)歸納法證明.
試題解析：（1）若，則，
由，
得或，所以只需或.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為∪.    6分
(2)對任意成立的充要條件為.必要性：由，解出；
（另解：假設(shè)，得，令，，可得：，即有.）    8分
充分性：數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，對一切，成立.
證明：（1）顯然時(shí)，結(jié)論成立；
（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，
當(dāng)時(shí)，.
考察函數(shù)，，
①若，由，知在區(qū)間上單調(diào)遞增.由假設(shè).
②若，對總有，
則由假設(shè)得.
所以，時(shí)，結(jié)論成立，
綜上可知：當(dāng)時(shí)，對一切，成立.
故對任意成立的充要條件是.