Question

已知函數f（x）滿足 f（x²-3）=log_a

x2

6-x2

（a＞0且a≠1）
（1）求函數f（x）的解析式
（2）判斷函數f（x）的奇偶性
（3）解不等式f（x）≥log_a（2x）

Answer 1

分析：（1）令t=x²-3，可得 f（t）=loga

t+3

3-t

，3＞t＞-3，從而得到函數f（x）的解析式．
（2）由于函數f（x）的定義域為（-3，3），關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），可得函數為奇函數．
（3）不等式不等式即 loga

x+3

3-x

≥log_a（2x）．當 a＞1時，由

x+3

3-x

≥2x＞0 求得不等式的解集．當 0＜a＜1時，由0＜

x+3

3-x

≤2x 求得不等式的解集．

解答：解：（1）令t=x²-3，∵函數f（x）滿足 f（x²-3x）=log_a

x2

6-x2

=loga

x2-3+3

3+3-x2

 （a＞0且a≠1），
由于 0＜x²＜6，可得-3＜t＜3．
故 f（t）=loga

t+3

3-t

，3＞t＞-3，故函數f（x）的解析式為 f（x）=loga

x+3

3-x

，3＞x＞-3．
（2）由于函數f（x）的定義域為（-3，3），且f（-x）=loga

-x+3

3+x

=-loga

x+3

3-x

=-f（x），故函數為奇函數．
（3）由不等式不等式f（x）≥log_a（2x），可得loga

x+3

3-x

≥log_a（2x）．
當 a＞1時，

x+3

3-x

≥2x＞0，即

(2x-3)(x-1)

x-3

≤0，且 x＞0，解得不等式的解集為 {x|

3

2

≤x＜3}．
當 0＜a＜1時，0＜

x+3

3-x

≤2x，即

x+3 x-3 ＜0 (2x-3)(x-1) x-3 ≥0

，由此解得不等式的解集為 {x|1≤x≤

3

2

}．

點評：本題主要考查用換元法求函數的解析式，對數不等式、分式不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．