Question

設△ABC頂點坐標A(0，1)，B(-

3

，0)，C(

3

，0)，圓M為△ABC的外接圓．
（Ⅰ）求圓M的標準方程；
（Ⅱ）直線l過點（1，3）且與圓M相交于P、Q，弦PQ長為2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設圓M的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將點A(0，1)，B(-

3

，0)，C(

3

，0)代入可得方程組，由此可得圓M的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與x軸垂直，則l：x=1，可知符合題意；若直線l與x軸不垂直，設l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0，求得點M（0，-1）到l的距離d=

|4-k|

k2+1

，利用弦PQ長為2

3

，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
因為圓M過點A(0，1)，B(-

3

，0)，C(

3

，0)，所以

1+E+F=0 3- 3 D+F=0 3+ 3 D+F=0

，…（4分）
解得

D=0 E=2 F=-3

，所以圓M的方程為x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．　（7分）
（Ⅱ）若直線l與x軸垂直，則l：x=1，
由

x=1 x2+y2+2y-3=0

，得

x=1 y=-1± 3

，所以PQ=2

3

，符合題意．　…（9分）
若直線l與x軸不垂直，設l：y=k（x-1）+3即kx-y-k+3=0
點M（0，-1）到l的距離d=

|4-k|

k2+1

∴PQ=2

r2-d2

=2

4- (4-k)2 k2+1

=2

3

，…（12分）
∴k=

15

8

，此時l方程為y=

15

8

x+

7

8

綜上所述，直線l的方程是x=1或y=

15

8

x+

7

8

．　　　　　　　…（15分）

點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓相交的弦長問題，解題的關鍵是利用待定系數法，利用圓的特殊性．