Question

下列函數中，滿足“?x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0”的是（　　）

• A．f（x）=lg（2x+1）
• B．f（x）=x+cosx
• C．f（x）=x²-

  1

  x

• D．f（x）=-x³-3x²

Answer 1

分析：由已知得所求函數在區間（0，+∞）上為減函數，結合初等函數的性質及導數與單調性的關系，逐個驗證：A在（0，+∞）上為增函數；B在（0，+∞）上單調遞增；C在（0，+∞）上為增函數；D在在（0，+∞）上為減函數，可得答案．

解答：解：由題意可得函數在區間（0，+∞）上為減函數，
選項A為常用對數函數形式，為增函數，故不合題意；
選項B，f（x）=x+cosx，由于f'（x）=1-sinx≥0，故函數在（0，+∞）單調遞增，不合題意；
選項C，由f′（x）=2x+

1

x2

＞0可知函數在（0，+∞）上為增函數，不符合題意；
選項D，當x∈（0，+∞）時，f（x）=-x³-3x²，由于f'（x）=-3x²-6x=-3x（x+2）＜0，在（0，+∞）上單調遞減，故合題意，
故選D．

點評：本題考查函數的單調性，借用常用函數的單調性是解決問題的捷徑，屬基礎題．