Question

定義在區間（0，+∞）上的函數f （x）滿足：（1）f（x）不恒為零；（2）對任意a∈R⁺，b∈R，都有f（a^b）=bf（a）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求證方程f（x）=0有且只有一個實數根；
（Ⅲ）若f（2）＞0，試證f（x）是（0，+∞）上的增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，令a=1，b=2，即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）由（1）知，存在x₀∈（0，+∞），使得f （x₀）≠0，任取x₁∈（0，+∞）且x₁≠1，結合題意即可證得方程f（x）=0有且只有一個實數根；
（Ⅲ）對任意的0＜x₁＜x₂＜+∞，存在實數p₁，p₂，使得x₁=2^p1，x₂=2^p2，且p₁＜p₂，作差判斷即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：∵f （ab）=bf （a），
令a=1，b=2，
∴f （1）=f （1²）=2f （1），
∴f （1）=0．（3分）
（Ⅱ）證明：由（1）知，存在x₀∈（0，+∞），使得f （x₀）≠0，顯然x₀≠1．
任取x₁∈（0，+∞）且x₁≠1，則
必存在實數q，使得x₁=x₀^q，q≠0．
由（2）知f （x₁）=f （x₀^q）=qf （x₀）≠0，
故f （x）=0有且只有一個實數根x=1．（8分）
（Ⅲ）證明：對任意的0＜x₁＜x₂＜+∞，
存在實數p₁，p₂，使得x₁=2^p1，x₂=2^p2，且p₁＜p₂，
f （x₁）-f （x₂）=f （2^p1）-f （2^p2）
=p₁f （2）-p₂f （2）
=（p₁-p₂） f （2）＜0，
∴f （x₁）＜f （x₂），
∴函數f （x）在（0，+∞）上單調遞增．（14分）

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數單調性的判斷與證明，屬于中檔題．