Question

已知動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為-

1

3

，則動點P的軌跡方程為

x2

3

+y2=1

．

Answer 1

分析：根據橢圓定義可知，所求動點P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，再結合余弦定理、基本不等式，即可求出橢圓中的a，b的值．

解答：解：（1）∵x²-y²=1，∴c=

2

．設|PF₁|+|PF₂|=2a（常數a＞0），2a＞2c=2

2

，∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

2a2-4

|PF1||PF2|

-1
∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，
∴當且僅當|PF₁|=|PF₂|時，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此時cos∠F₁PF₂取得最小值為

2a2-4

a2

-1，
由題意

2a2-4

a2

-1=-

1

3

，解得a²=3，
∴b²=a²-c²=3-2=1
∴P點的軌跡方程為

x2

3

+y2=1．
故答案為：

x2

3

+y2=1

點評：本題考查了求軌跡方程，考查余弦定理、基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．