Question

二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為負，且對任意實數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x²）＜f（1+x+x²），則x的取值范圍是

（-∞，-

1

4

）∪（0，+∞）

．

Answer 1

分析：由已知中，二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為負，且對任意實數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），我們易判斷出二次函數(shù)圖象的形狀，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以將f（1-3x²）＜f（1+x+x²）轉化為一個絕對值不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：∵對任意實數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），
則x=2是函數(shù)f（x）的對稱軸，
又由二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為負，
故函數(shù)的開口方向朝下
則f（1-3x²）＜f（1+x+x²），可轉化為
|2-（1-3x²）|＞|2-（1+x+x²）|
即|3x²+1|＞|-1+x+x²|
解得x∈（-∞，-

1

4

）∪（0，+∞）
故答案為：（-∞，-

1

4

）∪（0，+∞）．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，進而將不等式轉化為一個一元二次不等式是解答本題的關鍵．