Question

如圖所示，一種醫用輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體．開始輸液時，滴管內勻速滴下球狀液體，其中球狀液體的半徑r=

3

10

毫米，滴管內液體忽略不計．
（1）如果瓶內的藥液恰好156分鐘滴完，問每分鐘應滴下多少滴？
（2）在條件（1）下，設輸液開始后x（單位：分鐘），瓶內液面與進氣管的距離為h（單位：厘米），已知當x=0時，h=13．試將h表示為x的函數．（注：1cm³=1000mm³）

Answer 1

分析：（1）設每分鐘滴下k（k∈N^*）滴，由圓柱的體積公式求出瓶內液體的體積，再求出k滴球狀液體的體積，得到156分鐘所滴液體體積，由體積相等得到k的值．
（2）由（1）知，每分鐘滴下πcm³藥液，當液面高度離進氣管4至13cm時，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的底面積乘以（13-h），當液面高度離進氣管1至4cm時，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的體積與小圓柱底面積乘以（4-h）的和，由此即可得到瓶內液面與進氣管的距離為h與輸液時間x的函數關系．

解答：解：（1）設每分鐘滴下k（k∈N^*）滴，
則瓶內液體的體積V1=π•42•9+π•22•3=156πcm³，
k滴球狀液體的體積V2=k•

4

3

•π•10=

40k

3

mm3=

kπ

75

cm³，
∴156π=

kπ

75

×156，解得k=75，故每分鐘應滴下75滴．
（2）由（1）知，每分鐘滴下πcm³藥液，
當4≤h≤13時，xπ=π•4²•（13-h），即h=13-

x

16

，此時0≤x≤144；
當1≤h＜4時，xπ=π•4²•9+π•2²•（4-h），即h=40-

x

4

，此時144＜x≤156．
綜上可得h(x)=

13- x 16 ， 0≤x≤144 40- x 4 ， 144＜x≤156

．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了簡單的數學建模思想方法，解答的關鍵是對題意的理解，然后正確列出體積相等的關系式，屬中檔題．