Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=-x²+ax．
（1）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)?（x）=e^2x+ae^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)?（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為h′(x)=

1

x

+2x-a≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式，即可確定b的取值范圍；
（2）設(shè)t=e^x，則函數(shù)化為y=t²+at，t∈[1，2]，利用配方法，討論函數(shù)在[1，2]上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)?（x）的最小值．

解答：解：（1）依題意：h（x）=lnx+x²-ax
∵h(yuǎn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴h′(x)=

1

x

+2x-a≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤

1

x

+2x，
∵x＞0，則 

1

x

+2x≥2

2

．
∴b的取值范圍是(-∞，2

2

]．
（2）設(shè)t=e^x，則函數(shù)化為y=t²+at，t∈[1，2]
∵y=(t+

a

2

)2-

a2

4

當(dāng)-

a

2

≤1，即-2≤a≤2

2

時(shí)，函數(shù)y在[1，2]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)t=1時(shí)，y_min=a+1；
當(dāng)1＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜-2時(shí)，t=-

a

2

，y_min=-

a2

4

；
當(dāng)-

a

2

≥2，即a≤-4時(shí)，函數(shù)y在[1，2]上為減函數(shù)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，y_min=2a+4．
綜上所述：?(x)=

a+1，-2≤a≤2 2 - a2 4 ，-4＜a＜-2； 2a+4，a≤-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，利用分離參數(shù)法確定參數(shù)的范圍．