【題目】已知拋物線
：
的焦點為
，
為拋物線上一點，
為坐標(biāo)原點，
的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且外接圓的周長為
.
（1）求拋物線的方程；
（2）已知點
，設(shè)不垂直于
軸的直線
與拋物線交于不同的兩點
，
，若
，證明直線過定點并寫出定點坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）證明見解析,恒過定點
【解析】
（1）先求出
的外接圓的半徑長，再利用拋物線的定義可求出
的值，從而得出拋物線
的方程；
（2）設(shè)
的方程為
，
，
，聯(lián)立直線與拋物線方程，列出韋達定理，
等價于
即可得到
、
的關(guān)系，即可得到直線恒過定點.
解：（1）因為的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，
所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
因為外接圓的周長為
，所以圓的半徑為3，
又圓心在
的垂直平分線上，
，
，解得：
，
所以拋物線的方程為.
（2）設(shè)的方程為，，，
由
得
，
，則
.
所以
，
，
因為，所以
，
即
，化簡得
，
所以
，所以
，
所以的方程為
，恒過定點.
名師金手指領(lǐng)銜課時系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當(dāng)年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊對噸位為
的20艘捕魚船一天的捕魚量進行了統(tǒng)計，如下表所示：
捕魚量(單位：噸) |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
根據(jù)氣象局統(tǒng)計近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表（捕魚期內(nèi)的每個晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：
晴好天氣(單位：天) |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 2 | 7 | 6 | 3 | 2 |
（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）
（Ⅰ）估計漁業(yè)捕撈隊噸位為的漁船單次出海的捕魚量的平均數(shù)
；
（Ⅱ）已知當(dāng)?shù)佤~價為2萬元/噸，此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時，每天成本為10萬元/艘，若不捕魚，每天成本為2萬元/艘，若以（Ⅰ）中確定的作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時一天的捕魚量.
①請依據(jù)往年天氣統(tǒng)計數(shù)據(jù)，試估計一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率；
②設(shè)今后3年中，此種捕魚船每年捕魚情況一樣，記一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的年數(shù)為
，求的分布列和期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】惠州市某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選1人參加數(shù)學(xué)競賽，抽取了近期兩人5次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表：
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲 | 80 | 85 | 71 | 92 | 87 |
乙 | 90 | 76 | 75 | 92 | 82 |
（1）若從甲、乙兩人中選出1人參加數(shù)學(xué)競賽，你認為選誰合適？請說明理由.
（2）若數(shù)學(xué)競賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中答題方案如下：
每人從5道備選題中隨機抽取3道作答，若至少答對其中2道，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰.假設(shè)被選中參賽的學(xué)生只會5道備選題中的3道，求該學(xué)生能進人復(fù)賽的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
的側(cè)面
是平行四邊形，
，平面
平面，且
分別是
的中點.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】以下四個命題中正確的是（ ）
A.空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示
B.若
為空間向量的一組基底，則
構(gòu)成空間向量的另一組基底
C.
為直角三角形的充要條件是
D.任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，
，
，
，M是棱PC上一點，且
，
平面MBD．
（1）求實數(shù)λ的值；
（2）若平面
平面ABCD，
為等邊三角形，且三棱錐P-MBD的體積為2，求PA的長．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】以下5條表述中，橫線上填A代表“充分非必要條件”，填B代表“必要非充分條件”，填C代表“充要條件”，填D代表“既非充分也非必要條件”，請將相應(yīng)的字母填入下列橫線上.
（1）若
，則“
是
與
的等比中項”是“
”的_______.
（2）“數(shù)列
為常數(shù)列”是“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”的_______.
（3）若是等比數(shù)列，則“
”是“為遞減數(shù)列”的_______.
（4）若是公比為
的等比數(shù)列，則“
”是“是遞減數(shù)列”的_______.
（5）記數(shù)列的前
項和為
，則“數(shù)列
為遞增數(shù)列”是“數(shù)列的各項均為大于零”的_______.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】“科技引領(lǐng)，布局未來”科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計研發(fā)投入達4100億元，我們將研發(fā)投入與經(jīng)營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比．這12年間的研發(fā)投入（單位：十億元）用圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營收比用圖中的折線圖表示．
根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 2012﹣2013 年研發(fā)投入占營收比增量相比 2017﹣2018 年增量大
B. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入逐年增加
C. 2015﹣2016 年研發(fā)投入增值最大
D. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入占營收比逐年增加
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