Question

已知等差數列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，數列{a_n}的前n項和S_n
（1）求a_n，S_n；           
（2）令bn=

1

an2-1

，(n∈N*)，求證數列{b_n}的前n項和Tn＜

1

4

；
（3）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式4Sn-8047＞an2恒成立，這樣的正整數m共有多少個？

Answer 1

分析：（1）等差數列{a_n}，首項為a₁，設公差為d，代入a₃=7，a₅+a₇=26，求出d和首項，根據等差數列的性質，求出a_n，S_n；
（2）把通項公式a_n，代入b_n，利用裂項法求出其前n項和，再進行證明；
（3）集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，一共有500個元素，因為存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式4Sn-8047＞an2①，把S_n和a_n代入①，求出n的范圍，再求出滿足集合M的元素；

解答：解：（1）∵等差數列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，等差數列為d，
∴a₁+2d=7①，2a₁+10d=26②，
由①②可得，a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）；
（2）b_n=

1

a 2 n -1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

；
（3）集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，
存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式4Sn-8047＞an2恒成立，
∴4×n×（n+2）-8047＞（2n+1）²，
推出4n＞8048，解得n＞2012，
∴2k＞2012，解得k＞1006，
∴M={1006，1007，…，1499}，
一共有1499-1006+1=494，
∴這樣的正整數m共有494個；

點評：此題主要考查等比數列和等差數列的性質及其應用，第三問難度比較大，不等式4Sn-8047＞an2恒成立，代入進行求處n的范圍，再進行判斷，此題是一道中檔題；