Question

已知函數(shù)f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，求f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)倍角公式和兩角和的正弦公式對解析式化簡，再由周期公式求解；
（2）由x的范圍求出“2x+

π

4

”的范圍，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出單調(diào)區(qū)間，從而求出最小值以及對應(yīng)的x的集合．

解答：解：（1）由題意得f（x）=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
則函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
則f（x）在[-

3π

4

，-

π

2

]上遞減，在[-

π

2

，

π

4

]上遞增
，所以當(dāng)2x+

π

4

=-

π

2

時，f（x）取最小值-

2

，
此時x的集合為{-

3π

8

}．

點評：本題考查了三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確對解析式進行化簡，屬于中檔題．