Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是y=f（x）的導函數y=f′（x）的導函數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有的同學發現“任何三次函數都有‘拐點’；任何三次函數都有對稱中心；且對稱中心就是‘拐點’”．請你根據這一發現判斷下列命題：

（1）任意三次函數都關于點對稱；

（2）存在三次函數，f'（x）=0有實數解x₀，（x₀，f（x₀））點為函數y=f（x）的對稱中心；

（3）存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心；

（4）若函數，則

其中正確命題的序號為（　　）

A．

（1）（2）（4）

B．

（1）（2）（3）（4）

C．

（1）（2）（3）

D．

（2）（3）

Answer 1

考點：

命題的真假判斷與應用．

專題：

新定義．

分析：

（1）利用新定義，可知（1）正確；

（2）由（1）知，x₀=﹣，代入f'（x）=0，可得b²=3ac，由此可得結論；

（3）由（1）知，三次函數有且只有一個對稱中心；

（4）求出對稱中心，即可得到結論．

解答：

解：（1）由題意，f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），

∴令f″（x）=0，可得x=﹣，∴任意三次函數都關于點對稱，故（1）正確；

（2）由（1）知，x₀=﹣，代入f'（x）=0，可得，∴b²=3ac，此時，存在三次函數，f'（x）=0有實數解x₀，（x₀，f（x₀））點為函數y=f（x）的對稱中心，故（2）正確；

（3）由（1）知，三次函數有且只有一個對稱中心，即不存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心，故（3）不正確；

（4）∵，∴g′（x）=x²﹣x

∴g″（x）=2x﹣1

令g″（x）=0，可得x=，∴g（1）=﹣

∴的對稱中心為

∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1

∴，即（4）正確，

故選A．

點評：

本小題考查新定義，考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查計算能力，屬于中檔題．