Question

14．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F₁且與雙曲線的實(shí)軸垂直的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，則雙曲線離心率e的值是$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知條件列出關(guān)系式，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F₁且與雙曲線的實(shí)軸垂直的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
可得c=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}•b$，即c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即c²-a²-ac=0，可得e²-e-1=0，e＞1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．