Question

 如圖所示，棱柱的所有棱長都等于2，，平面AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°.

（I）證明：BD⊥AA₁.

（II）求二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值.

（III）在直線CC₁上是否存在點P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，試說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）連結BD交AC于O，由于四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC. 又因為二面角D-AC-A₁為直二面角，所以BD⊥ACA₁.所以BD⊥AA₁              4分                                        

   （II）作OK⊥AA₁于K，連結DK，則DK⊥AA₁. 所以∠OAK=60°所以OK=

而OD=，故tan∠DKO=2,即二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是     8分

（III）延長C₁C到P使CP=C₁C，連結B₁C，BP，則BP//B₁C. 所以BP//A₁D. 又A₁D平面DA₁C₁，所以BP//平面DA₁C₁.                                   12分

注：利用空間直角坐標系法解題參照給分。