Question

設平面上P、Q兩點的坐標分別是（cos

x

2

，sin

x

2

），（-cos

3x

2

，  sin

3x

2

），其中x∈[0，

π

2

]
（1）求|PQ|的表達式；
（2）記f（x）=|PQ|²-4λ|PQ|，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

（1）由兩點之間的距離公式可得：
|PQ | =

(cos x 2 +cos 3x 2 )2+(sin x 2 -sin 3x 2 )2

=

2+2cos2x

=2cosx．
（2）由（1）可得：
f（x）=4cos²x-4λ•2cosx=4cos²x-8λcosx，
∵0≤x≤

π

2

∴0≤cosx≤1，
∴當λ≤0時，f（x）_min=4×0²-8λ×0=0
當0＜λ＜1時，f（x）_min=4×λ²-8λ×λ=-4λ²
當λ≥1時，f（x）_min=4×1-8λ=4-8λ
∴f(x)min=

0           (λ≤0) -4λ2     (0＜λ＜1) 4-8λ   (λ≥1)

．