Question

（2012•肇慶一模）設函數f（x）=x²+aln（x+1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數F（x）=f（x）+ln

2

有兩個極值點x₁，x₂且x₁＜x₂，求證F（x₂）＞

1

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f（x）的定義域為（-1，+∞），f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，令g（x）=2x²+2x+a，則△=4-8a．由根的判斷式進行分類討論，能求出函數f（x）的單調區間．
（Ⅱ）由F′（x）=f′（x），知函數F（x）有兩個極值點時，0＜a＜

1

2

，0＜

1-2a

＜1，由此推導出x₂=

-1+ 1-2a

2

∈（-

1

2

，0），且g（x₂）=0，即a=-（2x22+2x₂），F（x₂）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x₂）+ln

2

，構造函數h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）+ln

2

，能夠證明F（x₂）＞

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（-1，+∞），（1分）
f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，（x＞-1），（2分）
令g（x）=2x²+2x+a，則△=4-8a．
①當△＜0，即a＞

1

2

時，g（x）＞0，從而f′（x）＞0，
故函數f（x）在（-1，+∞）上單調遞增；（3分）
②當△=0，即a=

1

2

時，g（x）≥0，此時f′（x）≥0，此時f′（x）在f′（x）=0的左右兩側不變號，
故函數f（x）在（-1，0）上單調遞增； （4分）
③當△＞0，即a＜

1

2

時，g（x）=0的兩個根為x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

＞-

1

2

，
當

1-2a

≥1，即a≤0時，x₁≤-1，當0＜a＜

1

2

時，x₁＞-1．
故當a≤0時，函數f（x）在（-1，

-1+ 1-2a

2

）單調遞減，在（

-1+ 1-2a

2

，+∞）單調遞增；
當0＜a＜

1

2

時，函數f（x）在（-1，

-1- 1-2a

2

），（

-1+ 1-2a

2

，+∞）單調遞增，
在（

-1- 1-2a

2

，

-1+ 1-2a

2

）單調遞減．（7分）
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln

2

，∴F′（x）=f′（x），
∴當函數F（x）有兩個極值點時0＜a＜

1

2

，0＜

1-2a

＜1，
故此時x₂=

-1+ 1-2a

2

∈（-

1

2

，0），且g（x₂）=0，即a=-（2x22+2x₂），（9分）
∴F（x₂）=x22+aln（1+x₂）+ln

2

=x22-（2x22+2x2）ln（1+x₂）+ln

2

，
設h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）+ln

2

，其中-

1

2

＜x＜0，（10分）
則h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
由于-

1

2

＜x＜0時，h′（x）＞0，
故函數h（x）在（-

1

2

，0）上單調遞增，
故h（x）．h（-

1

2

）=

1

4

．
∴F（x₂）=h（x₂）＞

1

4

．（14分）

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查不等式的證明，綜合性強，難度大，對數學思維能力要求較高．解題時要認真審題，注意導數性質、分類討論思想、等價轉化思想的合理運用．