Question

【題目】設函數.已知曲線在點處的切線與直線垂直.

（1）求的值；

（2）求函數的極值點；

（3）若對于任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，函數有一個極小值點和一個極大值點，當時，函數在上有無極值點，當時，函數有唯一的極大值點，無極小值點；（3）.

【解析】

試題（1）根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，利用兩直線垂直時斜率間的關系即可求得的值；（2）因為，其極值點就是在上的變號零點的個數，通過討論對稱軸的位置和判別式的符合得其單調性，找到函數的極值點情況；（3）要使總存在，使得成立，即總存在，使得成立，構造函數，，則總存在，使得成立，所以即，利用導數研究含的單調性，求出最大值和最小值即得的范圍.

試題解析：（1），

所以，所以，

（2），其定義域為，

，

令，

①當時，，有，即，所以在區間上單調遞減，故在區間無極值點；

②當時，，令，有，

當時，，即，得在上遞減；

當時，，即，得在上遞增；

當時，，即，得在上遞減；

此時有一個極小值點和一個極大值點.

③當時，，

令，有，

當時，，即，得在上遞增；

當時，，即，得在上遞減.

此時唯一的極大值點，無極小值點，

綜上可知，當時，函數有一個極小值點和一個極大值點.

當時，函數在上有無極值點；

當時，函數有唯一的極大值點，無極小值點

（3）令，，

則，

若總存在，使得成立，

即總存在，使得成立，

即總存在，使得成立，

即，

，因為，所以，即在上單調遞增，

所以，

即對任意成立，

即對任意成立，

構造函數：，，

，當時，，∴在上單調遞增，∴.

∴對于任意，∴.

所以