Question

如圖，過拋物線C：x²=4y的對稱軸上一點P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，點Q是P關于原點的對稱．
（1）求證：x₁x₂=-4m；
（2）設P分有向線段

AB

所成的比為λ，若

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，求證：λ=μ．

Answer 1

分析：（1）設l方程為：y=kx+m，與拋物線的方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系即可得出；
（2）由P分有向線段

AB

所成的比為λ得

x1

x2

=-λ，利用

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，可得

QP

•(

QA

-μ

QB

)=0，即可得出．

解答：證明：（1）設l方程為：y=kx+m，與拋物線的方程聯立

y=kx+m x2=4y

得x²-4kx-4m=0，
∴x₁x₂=-4m．
（2）由P分有向線段

AB

所成的比為λ得

x1

x2

=-λ，
∵

QP

=（0，2m），

QA

=(x1，y1+m)，

QB

=(x2，y2+m)，
∴

QA

-μ

QB

=（x₁-μx₂，y₁+m-μ（y₂+m）），
∵

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
又y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

．
∴

x12

4

-μ

x22

4

+(1-μ)m=0，
把x₁x₂=-4m代入上式得

x 2 1

4

-μ

x 2 2

4

+(1-μ)•

-x1x2

4

=0，
∴(

x1

x2

)2-(1-μ)

x1

x2

-μ=0，
化為λ²+（1-μ）λ-μ=0，
∴λ=-1或λ=μ，而顯然λ＞0，
∴λ=μ．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．