Question

若n為正奇數，則7n+

C

1 n

•7n-1+…+

C

n-1 n

•7被9除所得的余數為：

7

．

Answer 1

分析：把所給的式子化為 8ⁿ-1，展開得 9ⁿ+（-1）¹•

C

1 n

9n-1+…+（-1）^n-1

C

n-1 n

9+（-1）ⁿ-1，分析結構特征可得式子被9除所得的余數．

解答：解：∵7n+

C

1 n

•7n-1+…+

C

n-1 n

•7=7n+

C

1 n

•7n-1+…+

C

n-1 n

•7+1-1=（7+1）ⁿ-1=8ⁿ-1
=（9-1）ⁿ-1=9ⁿ+（-1）¹•

C

1 n

9n-1+…+（-1）^n-1

C

n-1 n

9+（-1）ⁿ-1．
顯然，式子中，除了最后兩項（-1）ⁿ-1以外，其余的各項都能被9整除．
而由n為正奇數可得 （-1）ⁿ-1=-2，
故所給的式子被9除所得的余數為7，
故答案為 7．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，把所給的式子化為 9ⁿ+（-1）¹•

C

1 n

9n-1+…+（-1）^n-1

C

n-1 n

9+（-1）ⁿ-1，是解題的關鍵，屬于中檔題．